Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου


eksofilo_math__c_gym

 

ΜΑΘΗΜΑ 1

Τα Σύνολα Αριθμών

Number_sets

Ν: Φυσικοί αριθμοί: \left\{ 0,1,2,3,... \right\}

Ζ: Ακέραιοι αριθμοί: \left\{ ...\,,-3,-2,-1,0,1,2,3,... \right\}

Q: Ρητοί αριθμοί: Όσοι μπορούν να γραφούν σαν κλάσμα ακέραιων αριθμών. Π.χ. -2,\,\,\frac{2}{3},\,\,5,\overline{9}

Q’ Άρρητοι αριθμοί: Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δηλ.  έχουν άπειρα μη περιοδικά  δεκαδικά ψηφία όπως είναι ο π και ο e.

R: Πραγματικοί αριθμοί: ΟΛΟΙ

Τα σύνολα χωρίς το 0 αναπαρίστανται με αστεράκι: Ν*, Ζ*, …

 

Ιδιότητες Πρόσθεσης και Πολλαπλασιασμού

Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α+β=β+α αβ=βα
Προσεταιριστική (α+β)+γ=α+(β+γ) (αβ)γ=α(βγ)
Ουδέτερο στοιχείο α+0=α α∙1=α
Αντίθετος/ Αντίστροφος α+(-α)=0 α∙ (1/α)=1, α≠0
Επιμεριστική α(β+γ)=αβ+αγ

 

* Η Αντιμεταθετική ιδιότητα (αλλαγή θέσης στους όρους της πράξης) ισχύει για τις πράξει πρόσθεση και πολλαπλασιασμό µόνο.

\alpha \cdot \beta =0\Leftrightarrow \alpha =0 ή \beta =0

\alpha \cdot \beta \ne 0\Leftrightarrow \alpha \ne 0 και \beta \ne 0

Η αφαίρεση μπορεί να γραφεί σαν πρόσθεση. Παράδειγμα: 3-7=3+(-7)
Η διαίρεση μπορεί να γραφεί σαν πολλαπλασιασμός. Παράδειγμα:3:7=3/7=3\cdot \frac{1}{7}

 

Απόλυτες Τιμές
\left| x \right|=\left\{ \begin{matrix} x,\,x\ge 0 \\ -x,\,x<0 \\ \end{matrix} \right.

\left| x \right|\ge 0

Δυνάμεις

{{\alpha }^{\nu }}=\underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha ...\alpha }_{\nu \varphi o\rho \varsigma }, για \nu \ge 1
{{\alpha }^{-\nu }}=\frac{1}{{{\alpha }^{\nu }}}
{{\alpha }^{0}}=1
{{\alpha }^{\kappa }}{{\alpha }^{\lambda }}={{\alpha }^{\kappa +\lambda }}
{{\alpha }^{\kappa }}{{\beta }^{\kappa }}={{(\alpha \beta )}^{\kappa }}
\frac{{{\alpha }^{\kappa }}}{{{\alpha }^{\lambda }}}={{\alpha }^{\kappa -\lambda }}
\frac{{{\alpha }^{\kappa }}}{{{\beta }^{\kappa }}}={{\left( \frac{\alpha }{\beta } \right)}^{\kappa }}
{{\left( {{\alpha }^{\kappa }} \right)}^{\lambda }}={{\alpha }^{\kappa \lambda }}
{{a}^{\frac{\mu }{\nu }}}=\sqrt[\nu ]{{{\alpha }^{\mu }}} (είναι στην ύλη του λυκείου)

Σε ένα σύνθετο κλάσμα ισχύει \frac{\frac{a}{\beta }}{\frac{\gamma }{\delta }}=\frac{a\cdot \delta }{\beta \cdot \gamma }

 

Προτεραιότητα των πράξεων
• οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις
• οι δυνάμεις
• πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις
• προσθέσεις και αφαιρέσεις
Σε περίπτωση που έχουμε δύο πράξεις με την ίδια προτεραιότητα τότε εκτελούμε πρώτα αυτή που είναι από αριστερά.

Ρίζες

\sqrt[{}]{\alpha }=\left| \alpha \right|
\sqrt[{}]{\alpha }\sqrt[{}]{\beta }=\sqrt[{}]{\alpha \beta }
\frac{\sqrt[{}]{\alpha }}{\sqrt[{}]{\beta }}=\sqrt[{}]{\frac{\alpha }{\beta }}